Équation de cercle

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

Propriété

Une équation du cercle de centre  \(\text O(x_0 ; y_0)\)  et de rayon  \(\text R\)  est  \((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2\) .

Démonstration

Soit  \((C)\)  un cercle de centre  \(\text O(x_0 ; y_0)\)  et de rayon  \(\text R\) .
Quel que soit le point  \(\text M(x;y)\)  sur le cercle, on a  \(\text O\text M = \text R\) . 
Or, comme  \(\require{\asm}\vec{\text O\text M }\begin{pmatrix}x-x_0 \\ y-y_0\end{pmatrix}\) , on a 
\(\text O\text M ^2 = \vec {\text O\text M}^2 = (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2\) , c'est-à-dire \((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = \text R^2\) .

Exemples

1. Le cercle trigonométrique qui a pour origine le centre du repère et pour rayon 1 a pour équation  \(x^2 + y^2 = 1\) .
2. Le cercle de centre  \(\text A(1 ; -3)\)  et de rayon 2 a pour équation   \((x-1)^2 + (y+3)^2 = 4\) .